SÉRIES ET PRODUITS INFINIS


SÉRIES ET PRODUITS INFINIS
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

La notion de limite d’une suite est à la base de l’analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s’est imposé dès le XVIIe siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une définition des limites, remontent seulement au début du XIXe siècle, avec les travaux d’Abel, de Cauchy et de Gauss. L’étude des séries de nombres réels ou complexes et celle des séries de fonctions (séries entières, séries de Fourier, etc.) peuvent être considérées comme des cas particuliers de la théorie des séries d’éléments d’un espace vectoriel normé. On peut regrouper la notion de produit infini, utilisée par Euler au XVIIIe siècle, avec celle de série, à condition de se placer dans le cadre des groupes topologiques séparés.

Séries

Soit G un groupe commutatif topologique séparé (cf. algèbre TOPOLOGIQUE), dont la loi est notée additivement. On appelle série d’éléments de G un couple A = ((u n ), (s n )) constitué de deux suites d’éléments de G telles que, pour tout entier naturel n , on ait:

l’élément s n s’appelle somme à l’ordre n , la suite (u n ), terme général , et la suite (s n ), suite des sommes partielles de la série A.

On dit que la série A est convergente ou divergente suivant que la suite (s n ) converge ou non. Lorsque la série A est convergente, la limite s de (s n ) s’appelle somme de A et se note encore:

dans ces conditions, pour tout entier naturel n , l’élément r n = ss n s’appelle reste à l’ordre n et se note:

Il est immédiat que, si la série A converge, son terme général tend vers 0.
Examinons les liens entre suites et séries. Pour toute suite (u n ) d’éléments de G, il existe une série A et une seule dont le terme général est (u n ); sa somme à l’ordre n est définie par la relation (1). Inversement, pour toute suite (s n ) d’éléments de G, il existe une série A et une seule dont la suite des sommes partielles est (s n ); son terme général est défini par les relations:

Ainsi, par définition, l’étude de la convergence d’une série se ramène à celle d’une suite. Réciproquement, les règles de convergence des séries peuvent servir à étudier la convergence d’une suite par l’intérmédiaire de la série des différences.

Le cas fondamental dans la théorie des séries est celui où G est le groupe sous-jacent à un espace vectoriel normé E. Les séries d’éléments de E constituent un espace vectoriel; les séries convergentes constituent un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel précédent, et l’application qui à toute série convergente fait correspondre sa somme est linéaire. La multiplication de Cauchy des séries d’éléments d’une algèbre normée ne présente d’intérêt que dans le cas des séries entières; nous n’indiquerons ici que la multiplication des familles sommables (cf. infra ).

Lorsque l’espace vectoriel normé E est complet, le critère de convergence de Cauchy prend la forme suivante: Pour qu’une série A = ((u n ), (s n )) converge, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 0, il existe un entier naturel n 0 tel que, pour tout couple (q , r ) d’entiers naturels avec rqn 0, on ait:

Lien avec les intégrales impropres

Supposons toujours l’espace vectoriel normé E complet. L’étude de la convergence d’une intégrale impropre peut se ramener à celle d’une série, et réciproquement. Soit en effet f une application réglée (cf. CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable, chap. 3) de [0, + 秊[ dans E admettant 0 pour limite à l’infini, ( 見n ) une suite strictement croissante de nombres réels positifs tendant vers + 秊 telle que 見0 = 0 et que la suite ( 見n+1 漣 見n ) soit bornée, et enfin A la série dont le terme général est défini par la relation:

pour que l’intégrale impropre:

converge, il faut et il suffit que la série A converge.

Convergence des séries de nombres réels positifs

Dans le cas des séries de nombres réels positifs, on peut obtenir des règles plus précises de convergences des séries, grâce au résultat fondamental suivant: Pour qu’une série A = ((u n ), (s n )) de nombres réels positifs converge, il faut et il suffit que la suite (s n ) soit majorée. Plus précisément, si cette suite est majorée, on a:

si cette suite n’est pas majorée, s n tend vers + 秊.

Soit A et B deux séries de nombres réels positifs, de termes généraux (u n ) et (v n ). Si, pour tout entier naturel n , on a u nv n , il découle du théorème ci-dessus que la convergence de la série B implique celle de la série A. Dans ce cas:

Ce corollaire permet de ramener l’étude de la plupart des séries à celle de séries beaucoup plus simples, qui serviront alors de séries de référence pour les séries les plus générales. La convergence de ces séries de référence s’établit en les comparant à des intégrales impropres, ce qui montre l’importance du résultat que voici.

Soit f une fonction réglée sur [0, + 秊[ à valeurs réelles positives, décroissante et ayant 0 pour limite à l’infini, et A la série de terme général (f (n )). Pour que la série A converge, il faut et il suffit que l’intégrale impropre:

converge.

On prend la plupart du temps pour séries de références les séries géométriques , c’est-àdire les séries dont le terme général est de la forme (a n ), les séries de Riemann , de terme général (1/n size=1), convergentes si et seulement si 見 礪 1, les séries de Bertrand , de terme général:

convergentes également si et seulement si 見 礪 1.

La comparaison directe des séries de nombres réels positifs s’effectue à l’aide de la règle suivante: soit A et B deux séries de nombres réels positifs, de termes généraux (u n ) et (v n ). Si (u n ) est dominée par (v n ) et si, de plus, B converge, alors A converge. Il s’ensuit que, si (u n ) et (v n ) sont semblables, les séries A et B sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.

En prenant pour série de référence une série géométrique ou bien une série de Riemann, on obtient les règles classiques que voici.

Règle de Cauchy . Soit (u n ) une suite de nombres réels positifs telle que nu n admette une limite 廓. Si 廓 麗 1, la série de terme général (u n ) converge; si 廓 礪 1, cette série diverge.

Règle de Riemann . Soit (u n ) une suite de nombres réels positifs telle qu’il existe un nombre réel 見 satisfaisant à la condition suivante: La suite n size=1u n admet une limite 廓 appartenant à [0, + 秊[. Si 見 礪 1 et si 廓 麗 + 秊, la série de terme général (u n ) converge; si 見 諒 1 et si 廓 0, cette série diverge.

La comparaison directe s’utilise souvent sous la variante suivante, appelée comparaison logarithmique: soit (u n ) et (v n ) deux suites de nombres réels strictement positifs telles qu’à partir d’un certain rang on ait:

si la série de terme général (v n ) converge, il en est de même de la série de terme général (u n ).

En prenant toujours pour série de référence une série géométrique ou une série de Riemann, on obtient les deux autres règles classiques suivantes.

Règle de D’Alembert . Soit (u n ) une suite de nombres réels strictement positifs telle que u n +1/u n admette une limite 廓. Si 廓 麗 1, la série de terme général (u n ) converge; si 廓 礪 1, cette série diverge.

Règle de Raabe-Duhamel . Soit (u n ) une suite de nombres réels strictement positifs telle que u n +1/u n tende vers 1 par valeurs inférieures. On considère la suite (t n ) définie par la relation:

on suppose enfin que nt n admet une limite 廓 appartenant à [0, + 秊[. Si 廓 礪 1, la série de terme général (u n ) converge; si 廓 麗 1, cette série diverge.

Convergence absolue et semi-convergence

L’étude d’une série d’éléments d’un espace de Banach peut souvent se ramener à celle d’une série de nombres réels positifs, grâce à la notion suivante: On dit qu’une série A = ((u n ), (s n )) d’éléments d’un espace vectoriel normé E est absolument convergente si la série de terme général (face=F0019 瑩u n 瑩) est convergente. Pour que E soit complet, il faut et il suffit que toute série absolument convergente d’éléments de E soit convergente. En particulier, toute série absolument convergente de nombres complexes est convergente.

Prenons par exemple pour E l’espace vectoriel des applications bornées sur un ensemble X à valeurs dans un espace de Banach F, et munissons E de la norme de la convergence uniforme. La convergence absolue au sens de cette norme est dite normale . Toute série normalement convergente d’éléments de E est uniformément convergente sur X et absolument convergente (au sens de la norme sur F) en tout point de X; une telle série converge simplement sur X. On notera que toutes les réciproques sont fausses.

L’étude des séries non nécessairement absolument convergentes est souvent facilitée par la règle suivante.

Règle d’Abel . Soit ( 見n ) une suite décroissante de nombres réels positifs convergeant vers 0 et (a n ) une suite d’éléments d’un espace de Banach E. S’il existe un nombre réel positif 廓 tel que, pour tout couple (q , r ) d’entiers naturels avec qr , on ait:

alors la série de terme général ( 見n a n ) est convergente. De plus, pour tout entier naturel n , le reste à l’ordre n est majoré en norme par 廓見n+1 .

On retrouve ainsi la condition suffisante de convergence des séries alternées: soit (u n ) une suite de nombres réels non nuls telle que la suite ((face=F0019 漣 1)n u n ) soit de signe constant. Si la suite (u n ) tend vers 0 et si la suite (|u n |) est décroissante, alors la série de terme général (u n ) est convergente, son reste à l’ordre n est majoré en valeur absolue par |u n+1 | et a le signe de u n+1 .

Il existe donc des séries convergentes sans être absolument convergentes, telles que la série harmonique alternée, de terme général (face=F0019 漣 1)n /n , pour n 閭 1; de telles séries sont dites semi-convergentes .

Familles sommables

La définition de la somme d’une série repose sur le fait que l’ensemble des indices est N, et donc un ensemble canoniquement ordonné. Dans de nombreux problèmes, l’ordre des termes ne joue aucun rôle. Le besoin se fait aussi sentir de définir la somme d’une famille indexée par un ensemble I (non nécessairement dénombrable a priori ), indépendamment du choix d’une relation d’ordre dans I.

Soit de nouveau G un groupe commutatif topologique séparé. On dit qu’une famille a = (u i ), i 捻 I, d’éléments de G est sommable s’il existe un élément s de G satisfaisant à la condition suivante: Pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J0 de I telle que, pour toute partie finie J de I contenant J0, on ait:

un tel élément s est unique. On l’appelle somme de la famille a et on le note:

Si 0 admet une base dénombrable de voisinages, le support de toute famille sommable est dénombrable (ce qui ne signifie pas que l’on doive se ramener systématiquement au cas où I = N).

Soit maintenant E un espace de Banach. Le critère de Cauchy devient: Pour qu’une famille (u i ), i 捻 I, d’éléments de E soit sommable, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J0 de I telle que, pour toute partie finie K de I ne rencontrant pas J0, on ait:

La notion de famille sommable est commutative. De manière précise, pour toute famille sommable (u i ), i 捻 I, d’éléments de G et pour toute permutation 靖 de I, la famille (u size=1(i ), i 捻 I, est sommable, et:

Examinons le cas où I = N. Soit (u n ) une suite d’éléments de G. On dit que la série de terme général (u n ) est commutativement convergente si, pour toute permutation 靖 de N, la série de terme général (u size=1(n) ) est convergente. Si la suite (u n ) est sommable, la série de terme général (u n ) est commutativement convergente. Réciproquement, dans le cas des espaces de Banach, la convergence commutative implique la sommabilité; de plus, pour toute permutation 靖 de N,

Soit (u i ), i 捻 I, une famille sommable d’éléments d’un espace de Banach E et (Ih ), h 捻 H, une partition de I. Alors, pour tout élément h de H, la famille (u i ), i 捻Ih , est sommable, la famille (v h ), h 捻 H, où:

l’est encore, et:

cette formule est dite formule de sommation par paquets. Soit E1, E2, et F trois espaces de Banach et S une application bilinéaire continue de E1 憐 E2 dans F; soit (u i ), i 捻 I, une famille sommable d’éléments de E1 et (v j ), j 捻 J, une famille sommable d’éléments de E2. Alors, la famille (S(u i , v j )), (i , j ) 捻 I 憐 J, est sommable, et on a:

en particulier, on peut définir le produit de deux familles sommables d’éléments d’une algèbre de Banach.

La définition des familles absolument sommables d’éléments d’un espace vectoriel normé est calquée sur le cas des séries. Toute famille absolument sommable est sommable. La réciproque est vraie lorsque l’espace vectoriel E est de dimension finie (mais elle ne l’est pas si l’on suppose seulement que E est complet). en particulier, toute série absolument convergente de nombres complexes est commutativement convergente.

Séries multiples

La théorie des familles sommables s’applique notamment aux séries multiples. Étant donné un espace de Banach E, un entier naturel non nul r et une partie infinie I de Zr , on appelle série r -uple d’éléments de E indexée par I tout couple A = ((u t ), (s J)) constitué d’une suite r -uple d’éléments de E et d’une famille (s J) d’éléments de E, où J parcourt l’ensemble des parties finies de I, telles que:

la suite (u t ), t 捻 I, s’appelle terme général de la série A.

On dit qu’une telle série est absolument convergente si la famille (u t ), t 捻 I, est absolument sommable. La somme:

s’appelle alors comme la série A.

Prenons, par exemple, I = Zr 漣0, I+ = Nr 漣0, 見 un nombre réel non nul et, pour tout élément t = (n 1, n 2, ..., n r ) de I, posons:

les séries r -uples de termes généraux (u t ), t 捻 I, et (u t ), t 捻 I+, convergent si et seulement si 見 礪 r . Plus généralement, pour toute norme sur l’espace vectoriel Rr , les séries r -uples de termes généraux:

convergent si et seulement si 見 礪 r .

Soit maintenant A une série double de terme général (u n, p ), où (n , p ) parcourt N2. Si cette série est convergente, alors, pour tout entier naturel n , la série de terme général (u n, p ), pN, est convergente, et la série de terme général (v n ) avec:

est convergente. De plus:

dite formule de sommation par lignes des séries doubles. On peut énoncer de même une formule de sommation par colonnes. Les réciproques sont vraies si A est une série de nombres réels positifs.

Produits infinis

Soit G un groupe commutatif topologique séparé. Lorsque la loi de G est notée multiplicativement, les séries et les familles sommables d’éléments de G prennent respectivement les noms de produits infinis et de familles multipliables.

Cependant, lorsque le groupe G est le groupe multiplicatif d’un corps commutatif topologique séparé K, une suite d’éléments de G ne converge au sens de G que si elle converge vers un élément non nul de K. Cette remarque conduit à modifier légèrement les définitions.

On appelle produit infini d’éléments de K un couple A = ((u n ), (p n )) constitué de deux suites d’éléments de K telles que, pour tout entier naturel n , on ait:

l’élément p n s’appelle produit à l’ordre n de A, et la suite (u n ) s’appelle terme général de A.

On dit que le produit infini A est convergent dans K si u n est non nul à partir d’un certain rang n 0 et si le produit infini de terme général (u n ), nn 0, est convergent dans G = K. Il est immédiat que le terme général d’un produit infini convergeant dans K converge vers 1.

On dit de même qu’une famille (u i ), i 捻 I, d’éléments de K est multipliable dans K si le support I0 de cette famille, c’est-à-dire l’ensemble des indices i tels que u i 0, est le complémentaire d’une partie finie de I et si la famille (u i ), i 捻 I0, est multipliable dans K.

Les produits infinis ayant leurs principales applications dans la théorie des fonctions analytiques, nous nous plaçons désormais dans le cas du corps des nombres complexes.

Le critère de Cauchy devient ici: Pour que le produit infini A converge, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 1, il existe un entier naturel n 0 tel que, pour tout couple (q , r ) d’entiers naturels tel que rqn 0, on ait:

L’étude des produits infinis de nombres complexes se ramène à celle des séries: Soit (u n ) une suite de nombres complexes non réels négatifs; pour que le produit infini de terme général (u n ) soit convergent (resp. commutativement convergent), il faut et il suffit que la série de terme général (ln u n ) soit convergente (resp. commutativement convergente). Soit (v n ) une suite de nombres complexes; pour que le produit infini de terme général (1 + v n ) soit commutativement convergent, il faut et il suffit que la série de terme général (v n ) soit absolument convergente.Comme le terme général d’un produit infini convergent (u n ) tend vers 1, on pose u n = 1 + v n , où v n0. Lorsque (u n ) est une suite de nombres réels positifs , la convergence du produit infini de terme général u n équivaut à celle de la série de terme général v n , par passage au logarithme, car ln(1 + x ) 黎 x au voisinage de 0.

On est alors amené à définir la convergence absolue d’un produit infini de terme général u n par la convergence absolue de la série de terme général v n . Tout produit absolument convergent est convergent.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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